在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．（1）求棱的长；（2）若的中点为，求异面直线与所成角的余弦值.

题型：不详难度：来源：

在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．

（1）求棱的长；
（2）若的中点为，求异面直线与所成角的余弦值.

答案

（1）3（2）

解析

本题主要考查了点，线和面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离。
（1）因为）设，由题设，可知棱长。
（2）因为在长方体中//，
所以即为异面直线与所成的角（或其补角）
那么借助于三角形求解得到结论。
解：（1）设，由题设，
得，即，解得．
故的长为．   ……………………………6分
（2）因为在长方体中//，
所以即为异面直线与所成的角（或其补角）．…………………………8分
在△中，计算可得，则的余弦值为。……………12分