解:(1)证明:连结AC,AC交BD于O,连结EO ∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点 在中,EO是中位线,∴PA // EO 而平面EDB且平面EDB, 所以,PA // 平面EDB. ................4分 (2)证明:∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴ ∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线, ∴ ① 同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC ∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC 而平面PDC,∴ ② 由①和②推得平面PBC 而平面PBC,∴ 又且,所以PB⊥平面EFD .................8分 (3)∵, 由PD⊥平面ABCD,∴PD⊥BC, 又∵BC⊥CD,PD∩CD=D,∴BC⊥平面PCD, ∴BC⊥PC. 在△BDE中,, ∴ ,即DE⊥BE. 而由(2),PB⊥平面EFD,有PB⊥DE,因而DE⊥平面BEF, 在Rt△BPD中,,;Rt△BEF中,. ∴. ........14分 |