如图,在四面体ABCD中,P、Q分别为棱BC与CD上的点,且BP=2PC,CQ=2QD.R为棱AD的中点,则点A、B到平面PQR的距离的比值为
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如图,在四面体ABCD中,P、Q分别为棱BC与CD上的点,且BP=2PC,CQ=2QD.R为棱AD的中点,则点A、B到平面PQR的距离的比值为 . |
答案
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解析
:A、B到平面PQR的距离分别为三棱锥APQR与BPQR的以三角形PQR为底的高.故其比值等于这两个三棱锥的体积比.
VAPQR=VAPQD=×VAPCD=××VABCD=VABCD; 又,SBPQ=SBCD-SBDQ-SCPQ=(1--×)SBCD=SBCD, VRBPQ=VRBCD=×VABCD=VABCD.∴ A、B到平面PQR的距离的比=1∶4. 又,可以求出平面PQR与AB的交点来求此比值: 在面BCD内,延长PQ、BD交于点M,则M为面PQR与棱BD的交点. 由Menelaus定理知,··=1,而=,=,故=4. 在面ABD内,作射线MR交AB于点N,则N为面PQR与AB的交点. 由Menelaus定理知,··=1,而=4,=1,故=. ∴ A、B到平面PQR的距离的比=1∶4. |
举一反三
一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是. |
长方体的一个顶点上三条棱长分别是,且它的个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( ) |
在△ABC中,,若使绕直线旋转一周,则所形成的几何体的体积是( ) |
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若三个球的表面积之比是,则它们的体积之比是_____________。 |
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