正三棱锥底面三角形的边长为3,侧棱长为2,则其体积为______.

正三棱锥底面三角形的边长为3,侧棱长为2,则其体积为______.

题型:不详难度:来源:
正三棱锥底面三角形的边长为


3
,侧棱长为2,则其体积为______.
答案
如图,在正三棱锥P-ABC中,底面边长AB=


3
,侧棱长PA=2,
设顶点P在底面的射影为O,连接CO并延长,交AB与点D;
连接PD,则CD⊥AB,PD⊥AB;
在正△ABC中,AB=


3

∴CD=


3
2
AB=


3
2
×


3
=
3
2

OD=
1
3
•CD=
1
3
×
3
2
=
1
2

PD=


PA2-AD2
=


22-(


3
2
)
2
=


13
2

∴PO=


PD2-OD2
=


(


13
2
)
2
-(
1
2
)
2
=


3

所以,正三棱锥P-ABC的体积为:
V=
1
3
•S△ABC•PO=
1
3
×


3
4
×(


3
)
2
×


3
=
3
4

故答案为:
3
4

举一反三
一个简单多面体的直观图和三视图如图所示,它的主视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形,俯视图为正方形,E是PD的中点.
(Ⅰ)求证:PB平面ACE;
(Ⅱ)求证:PC⊥BD;
(Ⅲ)求三棱锥C-PAB的体积.
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已知四棱锥P-ABCD的体积为V,ABCD,且AB:CD=2:3,点Q是PA的中点,则三棱锥Q-PBC的体积是(  )
A.
V
5
B.
2V
5
C.
3V
5
D.
3V
10
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如图,已知正四棱锥V-ABCD中,AC与BD交于点M,VM是棱锥的高,若AC=8cm,VC=5cm,求正四棱锥V-ABCD的体积.
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有棱长为6的正四面体SABC,A′,B′,C′分别在棱SA,SB,SC上,且SA′=2,SB′=3,SC′=4,则截面A′B′C′将此正四面体分成的两部分体积之比为(  )
A.
1
9
B.
1
8
C.
1
4
D.
1
3
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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为6为正方形,PA=PD,
PA⊥平面PDC,E为棱PD的中点.
(Ⅰ)求证:PB平面EAC;
(Ⅱ)求证:平面PAD⊥平面ABCD;
(Ⅲ)求四棱锥P-ABCD的体积.

(Ⅱ)证明:PA⊥平面PDC,∴PA⊥CD.
∵四边形ABCD为正方形,∴AD⊥CD,
∴CD⊥平面PAD.
∴平面PAD⊥平面ABCD.
(Ⅲ)取AD中点F,连接PF,∵PA=PD,∴PF⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,∴PF⊥平面ABCD,
又∵PA⊥平面PDC,∴PA⊥PD,∴△PAD为等腰直角三角形.
∵AD=6,∴PF=3.
VP-ABCD=
1
3
AB•AD•PF=
1
3
×6×6×3=36
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