如图，三棱锥P-ABC中，PA=a，AB=AC=2a，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱锥P-ABC的体积．

题型：不详难度：来源：

如图，三棱锥P-ABC中，PA=a，AB=AC=2a，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱锥P-ABC的体积．

答案

如图，取AB、AC的中点M、N，连接PM，PN，MN，
则PA=AM=AN=a，由∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，
得：PM=PN=MN=a，∴三棱锥P-AMN是棱长为a的正四面体，它的体积为，
V_P-AMN=

1

3

•S_△AMN•h=

1

3

×

1

2

×a²×sin60°×

a2-( 2 3 × 3 2 a)2

=

2

12

a³；
三棱锥P-ABC的体积为，V_P-ABC=

1

3

•S_△ABC•h=

1

3

×4•S_△AMN•h=4V_P-AMN=

2

3

a3．