证明:(I)连接AC,交BD于O,则O为AC的中点,连接EO ∵点E在CC1上且C1E=3EC,点F是线段CC1的中点 ∴E为CF的中点,则OE∥AF 又∵OE⊂平面BED,AF⊄平面BED ∴AF∥平面BED (II)如图,建立空间直角坐标系D-xyz. 则A(2,0,0)B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),F=(0,2,2),A1(2,0,4). 则=(2,2,0),=(2,0,4) 设=(x,y,z)为平面A1DB的一个法向量,则
令z=1,=(-2,2,1) 又∵=(0,0,4)为平面ADB的一个法向量, 则cos<,>== 则tan<,>=2 即二面角A1-DB-A的正切值为2. (Ⅲ)三棱锥F-BED的体积等于三棱锥F-BCD与三棱锥E-BCD的差 ∴VF-BED=VF-BCD-VE-BCD=•(FC-EC)•S△BCD=•FE•S△BCD=. |