某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”．现测得底面ABCD是矩形，AB=16米，AD=4米，腰梁AE、BF、CF、DE分别与相交的底梁所成角均为6

题型：闸北区二模难度：来源：

某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”．现测得底面ABCD是矩形，AB=16米，AD=4米，腰梁AE、BF、CF、DE分别与相交的底梁所成角均为60°．
（1）请指出所有互为异面的且相互垂直的“梁”，并说明理由；
（2）若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可储存多少立方米粮食？

答案

（1）EF与AD，EF与BC，DE与BF，AE与CF，
由已知EF∥AB，


∵AB⊥AD，∴EF⊥AD．
同理，有EF⊥BC．
过点E作EK∥FB交AB点K，则∠DEK为异面直线DE与FB所成的角，
∵DE=FB=4，AK=2×（4cos60°）=4，DK=4

2

，
∴∠DEK=90°，即DE⊥BF，
同理AE⊥CF．
（2）过点E分别作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，连接MN，则AB⊥平面EMN，


∴平面ABCD⊥平面EMN，
过点E作EO⊥MN于点O，则EO⊥平面ABCD
由题意知，AE=DE=AD=4，AM=DN=4cos60°=2，EM=EN=2

3

，
∴O为MN中点，
∴EO=2

2

即四棱锥E-AMND的高，
同理，再过点F作FP⊥AB于点P，ENFQ⊥CD于点Q，连接PQ，
原多面体被分割为两个全等的四棱锥和一个直棱柱，且MP=16-2-2=12，
∴V多面体=2V四棱锥+V直棱柱=2×

1

3

×(2×4)×2

2

+(

1

2

×4×2

2

)×12=

176 2

3

，
答：该粮仓可储存

176 2

3

立方米的粮食．