(1)证明:由图(甲)结合已知条件知四边形CBED为正方形 如图(乙)∵F、H、G分别为AC,AD,DE的中点 ∴FH∥CD,HG∥AE--------------------------------------(1分) ∵CD∥BE∴FH∥BE ∵BE⊂面ABE,FH⊄面ABE ∴FH∥面ABE-------------------------------------(3分) 同理可得HG∥面ABE 又∵FH∩HG=H ∴平面FHG∥平面ABE-----------------(4分) (2)∵平面ACD⊥平面CBED 且AC⊥CD ∴AC⊥平面CBED----------------------------------------------------(5分) ∴V(x)=VA-BCE=S△BCE•AC ∵BC=x∴AC=2-x(0<x<2) ∴V(x)=×x2(2-x)=x2(2-x)=x•x•(4-2x)--------------(7分) ∵x•x•(4-2x)≤()3= ∴V(x)≤×= 当且仅当x=4-2x即x=时取“=” ∴V(x)的最大值为-------------------------------------------(9分) (3)以点C为坐标原点,CB为x轴建立空间直角坐标系 如右图示:由(2)知当V(x)取得最大值时x=,即BC= 这时AC=,∴B(,0,0),D(0,,0),A(0,0,)-----(10分)
∴平面ACB的法向量=(0,,0) 设平面ABD的法向量为=(a,b,c) ∵=(,0,-),=(-,,0)-------------(11分) 由⊥,⊥得-a+b=0,a-c=0 令c=1得=(,,1)----------------------------------------(12分) 设二面角D-AB-C为θ,则cosθ===---(14分) |