四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD, (Ⅰ)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°,求这个四棱锥的体积; (Ⅱ)证明无论四棱锥的高
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四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD, (Ⅰ)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°,求这个四棱锥的体积; (Ⅱ)证明无论四棱锥的高
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四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD,
(Ⅰ)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°,求这个四棱锥的体积;
(Ⅱ)证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°。
答案
(Ⅰ)解:∵PB⊥面ABCD,
∴BA是PA在面ABCD上的射影,
又DA⊥AB,
∴PA⊥DA,
∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角,∠PAB=60°,
而PB是四棱锥P-ABCD的高,PB=AB·tg60°=
a,
∴
。
(Ⅱ)证明:不论棱锥的高怎样变化,棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形,
作AE⊥DP,垂足为E,连结EC,则△ADE≌△CDE,
∴
,
故∠CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角,
设AC与DB相交于点O,连结EO,则EO⊥AC,
∴
,
在△AEC中,
,
所以,面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°。
举一反三
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[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:高考真题
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如图,在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=6,AD=4,AA
1
=3,分别过BC、A
1
D
1
的两个平行截面将长方体分成三部分,其体积分别记为
,
,
,若V
1
:V
2
:V
3
=1:4:1,则截面A
1
EFD
1
的面积为
[ ]
A.
B.
C.
D.16
题型:天津高考真题
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如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为
[ ]
A.2π
B.
C.
D.
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题型:北京高考真题
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R,该圆柱的全面积为
[ ]
A、
B、
C、
D、
题型:高考真题
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