如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点,AB=a.(Ⅰ)求证:直线A1D⊥B1C1;(Ⅱ)求点D到平面ACC1的距离;(Ⅲ)判断A1B与平面ADC

如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点,AB=a.(Ⅰ)求证:直线A1D⊥B1C1;(Ⅱ)求点D到平面ACC1的距离;(Ⅲ)判断A1B与平面ADC

题型:北京难度:来源:
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点,AB=a.
(Ⅰ)求证:直线A1D⊥B1C1
(Ⅱ)求点D到平面ACC1的距离;
(Ⅲ)判断A1B与平面ADC的位置关系,并证明你的结论.魔方格
答案
(Ⅰ)∵点D是正△ABC中BC边的中点,∴AD⊥BC,
又A1A⊥底面ABC,∴A1D⊥BC,∵BCB1C1,∴A1D⊥B1C1
(Ⅱ)作DE⊥AC于E,∵平面ACC1⊥平面ABC,
∴DE⊥平面ACC1于E,即DE的长为点D到平面ACC1的 距离.  
在Rt△ADC中,AC=2CD=a,AD=


3
2
a

∴所求的距离DE=
CD•AD
AC
=


3
4
a

(Ⅲ)答:直线A1B平面ADC1,证明如下:
连接A1C交AC1于F,则F为A1C的中点,∵D是BC的中点,∴DFA1B,
又DF⊂平面ADC1,A1B⊄平面ADC1,∴A1B平面ADC1
举一反三
如图,




AEC
是半径为a的半圆,AC为直径,点E为




AC
的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FB=FD=


5
a
EF=


6
a

(1)证明:EB⊥FD;
(2)已知点Q,R为线段FE,FB上的点,FQ=
2
3
FE
FR=
2
3
FB
,求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值.魔方格
题型:广东难度:| 查看答案
已知a,b,c是直线,α,β是平面,下列命题中正确的是(  )
A.若aα,b⊂α,则abB.若α⊥β,a⊂α,则a⊥β
C.若a⊥α,αβ,则a⊥βD.若a⊥c,b⊥c,则ab
题型:不详难度:| 查看答案
如图,动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上.过点P作垂直于平面BB1D1D的直线,与正方体表面相交于M,N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是(  )
A.
魔方格
B.
魔方格
C.
魔方格
D.
魔方格
魔方格
题型:北京难度:| 查看答案
如图,在四棱锥E-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BE=BC,AE⊥BE,M为CE上一点,且BM⊥平面ACE.
(1)求证:AE⊥BC;
(2)如果点N为线段AB的中点,求证:MN平面ADE.魔方格
题型:淮北二模难度:| 查看答案
三棱锥S-ABC中,侧棱SA、SB、SC两两互相垂直,M为三角形ABC的重心,D为AB的中点,作与SC平行的直线DP.
证明:
(1)DP与SM相交;
(2)设DP与SM的交点为D′,则D′为三棱锥S-ABC的外接球球心.
题型:不详难度:| 查看答案
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