如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a．（Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；（Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；（Ⅲ）判断A1B与平面ADC

题型：北京难度：来源：

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AB=a．
（Ⅰ）求证：直线A₁D⊥B₁C₁；
（Ⅱ）求点D到平面ACC₁的距离；
（Ⅲ）判断A₁B与平面ADC的位置关系，并证明你的结论．

答案

（Ⅰ）∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC，
又A₁A⊥底面ABC，∴A₁D⊥BC，∵BC∥B₁C₁，∴A₁D⊥B₁C₁．
（Ⅱ）作DE⊥AC于E，∵平面ACC₁⊥平面ABC，
∴DE⊥平面ACC₁于E，即DE的长为点D到平面ACC₁的 距离．  
在Rt△ADC中，AC=2CD=a，AD=

3

2

a．
∴所求的距离DE=

CD•AD

AC

=

3

4

a．
（Ⅲ）答：直线A₁B∥平面ADC₁，证明如下：
连接A₁C交AC₁于F，则F为A₁C的中点，∵D是BC的中点，∴DF∥A₁B，
又DF⊂平面ADC₁，A₁B⊄平面ADC₁，∴A₁B∥平面ADC₁．