(1)证明:连接CF,因为
| AEC | 是半径为a的半圆,AC为直径,点E为
| AC | 的中点,所以EB⊥AC. 在RT△BCE中,EC===a. 在△BDF中,BF=DF=a,△BDF为等腰三角形,且点C是底边BD的中点,故CF⊥BD. 在△CEF中,CE2+CF2=(a)2+(2a)2=6a2=EF2,所以△CEF为Rt△,且CF⊥EC. 因为CF⊥BD,CF⊥EC,且CE∩BD=C,所以CF⊥平面BED, 而EB⊂平面BED,∴CF⊥EB. 因为EB⊥AC,EB⊥CF,且AC∩CF=C,所以EB⊥平面BDF, 而FD⊂平面BDF,∴EB⊥FD. (2)设平面BED与平面RQD的交线为DG. 由FQ=FE,FR=FB,知QR∥EB. 而EB⊂平面BDE,∴QR∥平面BDE, 而平面BDE∩平面RQD=DG, ∴QR∥DG∥EB. 由(1)知,BE⊥平面BDF,∴DG⊥平面BDF, 而DR,DB⊂平面BDF,∴DG⊥DR,DG⊥DB, ∴∠RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角. 在Rt△BCF中,CF===2a,sin∠RBD===,cos∠RBD==. 在△BDR中,由FR=FB知,BR=FB=, 由余弦定理得,RD===a 由正弦定理得,=,即=,sin∠RDB=. 故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为. |