已知,如图:四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,(1)求证:直线MN⊥直线AB;(2)若平面PDC与平面ABCD所成的二面角
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已知,如图:四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,(1)求证:直线MN⊥直线AB;(2)若平面PDC与平面ABCD所成的二面角
题型:内江二模
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已知,如图:四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,
(1)求证:直线MN⊥直线AB;
(2)若平面PDC与平面ABCD所成的二面角大小为θ,能否确定θ使直线MN是异面直线AB与PC的公垂线,若能确定,求出θ的值,若不能确定,说明理由.
答案
(1)证明:连接AN、BN、AC,
∵PA⊥面ABCD,且AC?面ABCD,
∴PA⊥AC,
∵N是PC的中点,
∴AN=
1
2
PC,
∵BC⊥AB,
∴由三垂线定理得PB⊥BC,得BN=
1
2
PC,
∴AN=BN,,∴MN⊥AB.
(2)假设MN是异面直线AB与PC的公垂线,则MN⊥PC,
连接CM、PM,由于N是PC的中点,∴CM=PM
∴△BCM≌△APM,∴BC=PA,∴DA=PA,
∵PA⊥面ABCD,平面ABCD是矩形,∴CD⊥面PAD,
∴PA⊥CD,AD⊥CD,
∴∠PDA为面PDC与面ABCD所成的二面角的平面角,即∠PDA=θ,
∴当θ=
π
4
时,MN为异面直线AB与PC的公垂线.
举一反三
下列命题为真命题的是( )
A.平行于同一平面的两条直线平行
B.与某一平面成等角的两条直线平行
C.垂直于同一平面的两条直线平行
D.垂直于同一直线的两条直线平行
题型:不详
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设a,b为不重合的两条直线,α,β为不重合的两个平面,给出下列命题:
(1)若a
∥
α且b
∥
α,则a
∥
b;
(2)若a⊥α且b⊥α,则a
∥
b;
(3)若a
∥
α且a
∥
β,则α
∥
β;
(4)若a⊥α且a⊥β,则α
∥
β.
上面命题中,所有真命题的序号是 ______.
题型:镇江一模
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点E,F,G,H分别为空间四边形ABCD中AB,BC,CD,AD的中点,若AC=BD,且AC与BD成90
0
,则四边形EFGH是( )
A.菱形
B.梯形
C.正方形
D.空间四边形
题型:不详
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如图已知平面α、β,且α∩β=AB,PC⊥α,PD⊥β,C,D是垂足,试判断直线AB与CD的位置关系?并证明你的结论.
题型:不详
难度:
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如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为( )
A.AC⊥BD
B.AC
∥
截面PQMN
C.AC=BD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°
题型:江西
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