如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°。（I）求证：PC⊥BC；（Ⅱ）求点A到平面PBC

题型：江苏高考真题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°。
（I）求证：PC⊥BC；
（Ⅱ）求点A到平面PBC的距离。

答案

解析

解：（I）因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD
所以PD⊥BC
由∠BCD =90°，得BC⊥DC
又PD∩DC =D，PD平面PCD， DC平面PCD
所以BC⊥平面PCD
因为PC平面PCD
所以PC⊥BC；
（Ⅱ）连结AC，设点A到平面PBC的距离为h
因为AB∥DC，∠BCD =90°
所以∠ABC=90°
从而由AB=2，BC=1，得△ABC的面积S_△ABC=1
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积
因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD
所以PD⊥DC
又
所以
由
得△ABC的面积
由
得
因此点A到平面PBC的距离为。