MN和PB的位置如右图示:(正确标出给1分) (Ⅰ)证明:∵ND∥MB 且ND=MB ∴四边形NDBM为平行四边形 ∴MN∥DB------------------------(3分) ∵NM⊄平面PDB,DB⊂平面PDB ∴MN∥平面PBD---------------------------------(4分) (Ⅱ)证明:∵QC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥QC-------------(5分)
又∵BD⊥AC,∴BD⊥平面AQC,--------------------------(6分) ∵AQ⊂面AQC,∴AQ⊥BD, 同理可得AQ⊥PB, ∵BD∩PB=B ∴AQ⊥面PDB---------------------------------------------------------------------(8分) (Ⅲ)解法1:分别取DB、MN中点E、F,连结PE、EF、PF------------------(9分) ∵在正方体中,PD=PB ∴PE⊥DB---------------------------------(10分) ∵四边形NDBM为矩形 ∴EF⊥DB ∴∠PEF为二面角P-DB-M的平面角------------(11分) ∵EF⊥面PMN,∴EF⊥PF 设正方体的棱长为a,则在直角三角形EFP中 ∵EF=a,PF=a, ∴tan∠PEF==-----(14分) 解法2:设正方体的棱长为a,
以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图示: 则点A(a,0,0),P(a,0,a),Q(0,a,a)--------------(9分) ∴=(-a,a,0),=(-a,a,a)--------------(10分) ∵PQ⊥面DBM,由(Ⅱ)知AQ⊥面PDB ∴、分别为平面PDB、平面DBM的法向量-------------------(12分) ∴cos<,>=== ∴tan<,>=------------------------------------------(14分)] |