如图所示,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点.(1)求证:DF∥平面ABC;(2)求证:AF⊥BD.
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如图所示,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点.(1)求证:DF∥平面ABC;(2)求证:AF⊥BD.
题型:不详
难度:
来源:
如图所示,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点.
(1)求证:DF
∥
平面ABC;
(2)求证:AF⊥BD.
答案
证明:(1)取AB的中点G,连接FG,可得FG
∥
AE,FG=
1
2
AE,
又CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,
∴CD
∥
AE,CD=
1
2
AE,
∴FG
∥
CD,FG=CD,
∵FG⊥平面ABC,
∴四边形CDFG是矩形,DF
∥
CG,
CG?平面ABC,DF?平面ABC,
∴DF
∥
平面ABC.
(2)Rt△ABE中,AE=2a,AB=2a,
F为BE中点,∴AF⊥BE,
∵△ABC是正三角形,∴CG⊥AB,
∴DF⊥AB,
又DF⊥FG,
∴DF⊥平面ABE,DF⊥AF,
∴AF⊥平面BDF,∴AF⊥BD.
举一反三
下列说法中正确的是( )
A.平行于同一直线的两个平面平行
B.垂直于同一直线的两个平面平行
C.平行于同一平面的两条直线平行
D.垂直于同一平面的两个平面平行
题型:不详
难度:
|
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设α、β表示平面,l表示不在α内也不在β内的直线,给出下列命题:
①若l⊥α,l
∥
β,则α⊥β;
②若l
∥
β,α⊥β,则l⊥α;
③若l⊥α,α⊥β,则l
∥
β.
其中正确的命题是( )
A.①③
B.①②
C.②③
D.①②③
题型:不详
难度:
|
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已知直角梯形ABCD中,AB
∥
CD,
AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+
3
,过A作AE⊥CD,垂足为E,G,F分别为AD,CE的中点,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.
(Ⅰ)求证:BC⊥平面CDE;
(Ⅱ)求证:FG
∥
平面BCD;
(Ⅲ)在线段AE上找一点R,使得面BDR⊥面DCB,并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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在多面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,三角形CDE是等边三角形,棱EF
∥
BC且EF=
1
2
BC.
(I)证明:FO
∥
平面CDE;
(II)设BC=
3
CD,证明EO⊥平面CDF.
题型:江苏模拟
难度:
|
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已知空间四边形ABCD中,AC=AD,BC=BD,且E是CD的中点,F是BD的中点,
(1)求证:BC
∥
平面AFE;
(2)平面ABE⊥平面ACD.
题型:不详
难度:
|
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