如图,已知多面体ABCD﹣A1B1C1D1,它是由一个长方体ABCD﹣A"B"C"D"切割而成,这个长方体的高为b,底面是边长为a的正方形,其中顶点A1,B1,

如图,已知多面体ABCD﹣A1B1C1D1,它是由一个长方体ABCD﹣A"B"C"D"切割而成,这个长方体的高为b,底面是边长为a的正方形,其中顶点A1,B1,

题型:安徽省模拟题难度:来源:
如图,已知多面体ABCD﹣A1B1C1D1,它是由一个长方体ABCD﹣A"B"C"D"切割而成,这个长方体的高为b,底面是边长为a的正方形,其中顶点A1,B1,C1,D1均为原长方体上底面A"B"C"D"各边的中点.
(1)若多面体面对角线AC,BD交于点O,E为线段AA1的中点,求证:OE∥平面A1C1C;
(2)若a=4,b=2,求该多面体的体积;
(3)当a,b满足什么条件时AD1⊥DB1,并证明你的结论.
答案
证明:(1)连接AC,BD交于O点,
∵E为AA1的中点,O为AC的中点,
∴在△AA1C中,OE为△AA1C的中位线,
∴OE∥A1C,
∵OE平面A1C1C,A1C平面A1C1C,
∴OE∥平面A1C1C;
(2)多面体表面共包括10个面,补全长方体ABCD﹣A"B"C"D",
则知多面体ABCD﹣A1B1C1D1体积为:
=VABCD﹣A"B"C"D"﹣4=4×4×2﹣4×××2×2×2=
(3)易知CD⊥平面ADD1,D1B1∥DC,D1B1,OC确定平面CDD1B1
∵AD1平面ADD1
∴CD⊥AD1
若AD1⊥DB1
∵DB1∩CD=D,
∴AD1⊥平面CDD1B1
∵DD1平面CDD1B1
∴AD1⊥DD1,取AD中点M,则D1M∥A"A,且D1M=A"A,
∴在RtADD1中,2D1M=AD,即a=2b
即:当a=2b时,AD1⊥DB1
举一反三
如图,已知三棱锥P﹣ABC中,PA⊥PC,D为AB中点,M为PB的中点,且AB=2PD.
(Ⅰ)求证:DM∥面PAC;
(Ⅱ)找出三棱锥P﹣ABC中一组面与面垂直的位置关系,并给出证明(只需找到一组即可)
题型:福建省月考题难度:| 查看答案
如图,正方体ABCD﹣A"B"C"D"的棱长为1,线段B"D"上有两个动点E,F且,则下列结论中错误的是  [     ]

A.AC⊥BE
B.三棱锥A﹣BEF的体积为定值
C.EF∥平面ABCD
D.异面直线AE,BF所成的角为定值
题型:广东省月考题难度:| 查看答案
如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得,已知FA⊥ 平面ABC,AB=2,AF=2,CE=3,BD=1,O为BC的中点.
(1)求证:AO∥平面DEF;
(2)求证:平面DEF⊥平面BCED;
(3)求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值.
题型:山东省期中题难度:| 查看答案
如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,EF分别为PCBD的中点,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD
(1 )求证:EF∥平面PAD
(2 )求证:平面PAB⊥平面PCD
题型:广西自治区期中题难度:| 查看答案
设m、n是两条不同的直线,α、β、γ,是三个不同的平面,则下列命题中正确的是[     ]

A.若α⊥β,m⊥α,则m∥β  
B.若m⊥α,n∥α,则m⊥n
C.若m∥α,n∥α,则m∥n
D.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β


题型:江西省期中题难度:| 查看答案
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