如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．（1）求证：MN∥平面CDEF；（2）求多面体A﹣CDEF的体积．

题型：河南省模拟题难度：来源：

如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求多面体A﹣CDEF的体积．

答案

解：（1）证明：由多面体AEDBFC的三视图知，
三棱柱AED﹣BFC中，底面DAE是等腰直角三角形，
DA=AE=2，DA⊥平面ABEF，
侧面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形．
连接EB，则M是EB的中点，
在△EBC中，MN∥EC，
且EC平面CDEF，MN平面CDEF，
∴MN∥平面CDEF．
（2）因为DA⊥平面ABEF，EF平面ABEF，
∴EF⊥AD，又EF⊥AE，
所以，EF⊥平面ADE，
∴四边形 CDEF是矩形，且侧面CDEF⊥平面DAE
取DE的中点H，
∵DA⊥AE，DA=AE=2，
∴，且AH⊥平面CDEF．
所以多面体A﹣CDEF的体积．