如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD==1，现以AD 为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADE

题型：广东省模拟题难度：来源：

如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD==1，现以AD 为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2。
（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）求点D到平面BEC的距离。

答案

解：（1）证明：取EC中点N，连接MN，BN
在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，
所以MN∥CD，且MN
由已知AB∥CD，
所以MN∥AB，且MN=AB
所以四边形ABNM为平行四边形，
所以BN∥AM
又因为BN平面BEC，且AM平面BEC，
 所以AM∥平面BEC。
（2）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD
所以ED⊥BC
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得
在△BCD中，BD=BC=，CD=2，
所以BD²+BC²=CD²
所以BC⊥BD
所以BC⊥平面BDE。
（3）由（2）知，BC⊥平面BDE
又因为BC平面BCE，
所以平面BDE⊥平面BEC
过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC，
所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度，
在直角三角形BDE中，
所以
所以点D到平面BEC的距离等于。