如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，且AB=BC，E、F分别为棱AB，PC的中点，（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若点P在平面ABCD内的正投影O在直线A

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如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，且AB=BC，E、F分别为棱AB，PC的中点，
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若点P在平面ABCD内的正投影O在直线AC上，求证：平面PAC⊥平面PDE。

答案

证明：（Ⅰ）取线段PD的中点M，连接FM，AM，
因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且，
因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，
所以EA∥CD，且，
所以FM∥EA，且FM=EA，
所以四边形AEFM为平行四边形，
所以EF∥AM，
又AM平面PAD，EF平面PAD，
所以EF∥平面PAD。（Ⅱ）设AC，DE相交于G，
在矩形ABCD中，因为，
E为AB的中点，所以，
又∠DAE=∠CDA，
所以△DAE∽△CDA，
所以∠ADE=∠DCA，
又∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°，
所以∠DCA+∠CDE=90°，
由△DGC的内角和为180°，
得∠DGC=90°，即DE⊥AC，
因为点P在平面ABCD内的正投影O在直线AC上，
所以PO⊥平面ABCD，
因为DE平面ABCD，
所以PO⊥DE，
因为PO∩AC=O，PO，AC平面PAC，
所以DE⊥平面PAC，
又DE平面PDE，
所以平面PAC⊥平面PDE。