如图,已知∠BAC在平面α内,P∉α,∠PAB=∠PAC,求证:点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.
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如图,已知∠BAC在平面α内,P∉α,∠PAB=∠PAC,求证:点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.
题型:不详
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如图,已知∠BAC在平面α内,P∉α,∠PAB=∠PAC,求证:点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.
答案
证明:作PO⊥α,PE⊥AB,PF⊥AC,
垂足分别为O,E,F,连接OE,OF,OA,
∵
PE⊥AB,PF⊥AC
∠PAE=∠PAF
PA=PA
⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE=AF,
∵
PO⊥α
AB⊂α
⇒AB⊥PO
,
又∵AB⊥PE,PO∩PE=P,
∴AB⊥平面PEO,
∴AB⊥OE,同理AC⊥OF.
在Rt△AOE和Rt△AOF,AE=AF,OA=OA,
∴Rt△AOE≌Rt△AOF,∴∠EAO=∠FAO,
即点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.
举一反三
如图,AO⊥平面α,点O为垂足,BC⊂平面α,BC⊥OB,若
∠ABO=
π
4
,
∠COB=
π
6
,则cos∠BAC=______.
题型:不详
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