解:(Ⅰ)设AB中点为D,连结PD,CD,
因为AP=BP,所以PA⊥AB,
又AC=BC,所以CD⊥AB,
因为,
所以AB⊥平面PCD,
因为平面PCD,
所以PC⊥AB;
(Ⅱ)由已知∠ACB=90°,AC=BC=2,
所以,
又△PAB为正三角形,且PD⊥AB,所以,
因为,
所以∠CDP=90°,
由(Ⅰ)知∠CDP是二面角P-AB-C的平面角,
所以平面PAB⊥平面ABC。
(Ⅲ)由(Ⅱ)知CD⊥平面PAB,
过D作DE⊥PA于E,连结CE,
则CE⊥PA,所以∠DEC是二面角B-AP-C的平面角,
在Rt△CDE中,易求得,
因为,
所以,
所以,
即二面角B-AP-C的余弦值为。
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