在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D，（1）求证：A1C⊥平面AEF；（2）若规定两个平面所成的角是

题型：上海高考真题难度：来源：

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D，
（1）求证：A₁C⊥平面AEF；
（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等。
试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA₁=5时，求平面AEF与平面D₁B₁BD所成的角的大小（用反三角函数值表示）。

答案

证明：（1）因为，
所以在平面上的射影为，
由，得，
同理可证，
因为，
所以⊥平面AEF。 （2）解：过A作BD的垂线交CD于G，
因为，所以，
设AG与所成的角为α，
则α即为平面AEF与平面所成的角．
由已知，计算得，
如图建立直角坐标系，则得点A（0，0，0），
，
，
因为AG与所成的角为α，
所以，，
由定理知，平面AEF与平面CEF所成角的大小为。