(Ⅰ)证:由已知DF∥AB且∠DAB为直角,故ABFD是矩形,从而AB⊥BF,
又PA⊥底面ABCD, 所以平面PAD⊥平面ABCD,
因为AB⊥AD,
故AB⊥平面PAD,所以AB⊥PD,
在△PDC内,E、F分别是PC、CD的中点,EF∥PD,
所以AB⊥EF,由此得AB⊥平面BEF。
(Ⅱ)以A为原点,以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系,
设AB的长为1,则
设平面CDB的法向量为,平面EDB的法向量为,
则,∴
取y=1,可得,
设二面角E-BD-C的大小为θ,
则,
化简,得,则。
如图,己知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分别是AC、AD上的动点,且(0<λ<1)。
(1)求证:不论λ为何值,总有EF⊥平面ABC;
(2)若λ=,求三棱锥A-BEF的体积。
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