如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC。（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的正弦值。

题型：0108 月考题难度：来源：

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC。
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的正弦值。

答案

（Ⅰ）证明：取AB的中点D，连结PD，CD，
∵AP=BP，
∴PD⊥AB，
∵AC=BC，
∴CD⊥AB，
∵PD∩CD=D，
∴AB⊥平面PCD，
∵PC平面PCD，
∴PC⊥AB。
（Ⅱ）解：，，
∴，
又，
∴PC⊥BC，
又，即，且，
∴BC⊥平面PAC，
取AP的中点E，连结BE，CE，
∵AB=BP，∴BE⊥AP，
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP， ∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角，
在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，，
∴。