如图,在三棱锥P-ABC中,∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°.(1)求证:平面PBC丄平面PAC(2)已知PA=1,AB=2,当三棱锥P-ABC的体积最大时
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如图,在三棱锥P-ABC中,∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°.(1)求证:平面PBC丄平面PAC(2)已知PA=1,AB=2,当三棱锥P-ABC的体积最大时
题型:不详
难度:
来源:
如图,在三棱锥P-ABC中,∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°.
(1)求证:平面PBC丄平面PAC
(2)已知PA=1,AB=2,当三棱锥P-ABC的体积最大时,求BC的长.
答案
(1)证明:∵∠PAB=∠PAC=90°,∴PA⊥AB,PA⊥AC,
∵AB∩AC=A,∴PA⊥平面ABC,
∵BC⊂平面ABC,∴BC⊥PA
∵∠ACB=90°,∴BC⊥CA,又PA∩CA=A,
∴BC⊥平面PAC,∵BC⊂平面PBC,
∴平面PBC⊥平面PAC.
(2)由(1)知:PA⊥平面ABC,BC⊥CA,
设BC=x(0<x<2),AC=
AB
2
-BC
2
=
2
2
-x
2
=
4
-x
2
,
V
P-ABC
=
1
3
×S
△ABC
×PA=
1
6
x
4
-x
2
=
1
6
x
2
(4
-x
2
)
≤
1
6
×
x
2
+4
-x
2
2
=
1
3
.
当且仅当x=
2
时,取“=”,
故三棱锥P-ABC的体积最大为
1
3
,此时BC=
2
.
举一反三
如图所示,三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,D是AC的中点.
(1)求证:B
1
C
∥
平面A
1
BD;
(2)求证:平面BDA
1
⊥平面ACC
1
A
1
.
题型:不详
难度:
|
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如图,DC⊥平面ABC,EA
∥
DC,AB=AC=AE=
1
2
DC,M为BD的中点.
(Ⅰ)求证:EM
∥
平面ABC;
(Ⅱ)求证:平面AEM⊥平面BDC.
题型:不详
难度:
|
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如图,在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AC=BC,点D为AB的中点.
(1)求证:AC
1
∥
平面CDB
1
;
(2)求证:平面CDB
1
⊥平面ABB
1
A
1
.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,四棱锥P-ABCD中,ABCD是矩形,三角形PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°,面APD⊥面ABCD,AB=1,AD=2,E,F分别为PC和BD的中点.
(1)求证:EF
∥
平面PAD;
(2)证明:平面PAD⊥平面PDC;
(3)求四棱锥P-ABCD的体积.
题型:不详
难度:
|
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如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,
DM=3
2
.
(Ⅰ)求证:OM
∥
平面ABD;
(Ⅱ)求证:平面ABC⊥平面MDO;
(Ⅲ)求三棱锥M-ABD的体积.
题型:不详
难度:
|
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