如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=32.(Ⅰ)求证

如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=32.(Ⅰ)求证

题型:不详难度:来源:
如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=3


2

(Ⅰ)求证:OM平面ABD;
(Ⅱ)求证:平面ABC⊥平面MDO;
(Ⅲ)求三棱锥M-ABD的体积.
答案
(Ⅰ)证明:因为点O是菱形ABCD的对角线的交点,
所以O是AC的中点.又点M是棱BC的中点,
所以OM是△ABC的中位线,OMAB.…(2分)
因为OM⊄平面ABD,AB⊂平面ABD,
所以OM平面ABD.…(4分)
(Ⅱ)证明:由题意,OM=OD=3,
因为DM=3


2
,所以∠DOM=90°,OD⊥OM.…(6分)
又因为菱形ABCD,所以OD⊥AC.…(7分)
因为OM∩AC=O,
所以OD⊥平面ABC,…(8分)
因为OD⊂平面MDO,
所以平面ABC⊥平面MDO.…(9分)
(Ⅲ)三棱锥M-ABD的体积等于三棱锥D-ABM的体积.…(10分)
由(Ⅱ)知,OD⊥平面ABC,
所以OD=3为三棱锥D-ABM的高.…(11分)
△ABM的面积为
1
2
BA×BM×sin120°=
1
2
×6×3×


3
2
=
9


3
2
,…(12分)
所求体积等于
1
3
×S△ABM×OD=
9


3
2
.…(13分)
举一反三
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC,F、F1分别是AC,A1C1的中点.
求证:
(1)平面AB1F1平面C1BF;
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1
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如图已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥面ABC,AC=BC,M,N,P,Q分别是AA1,BB1,AB,B1C1的中点,
(1)求证:面PCC1⊥面MNQ;
(2)求证:PC1面MNQ.
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如图,AB,CD均为圆O的直径,CE⊥圆O所在的平面,BFCE.求证:
(1)平面BCEF⊥平面ACE;
(2)直线DF平面ACE.
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如图,已知△BCD中,∠BCD=90°,AB⊥平面BCD,BC=CD=1,AB=


3
,E、F
分别为AC、AD的中点.
(1)求证:平面BEF⊥平面ABC;
(2)求直线AD与平面BEF所成角的正弦值.
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已知平面α,β,γ,且平面α平面β,平面α⊥平面γ;
求证:平面β⊥平面γ
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