如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=2,D是A1B1中点.(1)求证C1D⊥平面AA1B1B;(2)当点F在BB1上
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如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1中点. (1)求证C1D⊥平面AA1B1B; (2)当点F在BB1上什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论.
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答案
(1)证明:∵ABC-A1B1C1是直三棱柱, ∴A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°. 又D是A1B1的中点,∴C1D⊥A1B1. ∵AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1, ∴AA1⊥C1D,∴C1D⊥平面AA1B1B. (2)作DE⊥AB1交AB1于E,延长DE交BB1于F,连接C1F,则AB1⊥平面C1DF,点F即为所求. 事实上,∵C1D⊥平面AA1B1B,AB1⊂平面AA1B1B, ∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF,DF∩C1D=D, ∴AB1⊥平面C1DF. 四边形AA1B1B为正方形,此时点F为B1B的中点. |
举一反三
如图,在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥底面ABCD,AD=1,CD=2,∠DCB=60°. (Ⅰ)求证:平面A1BCD1⊥平面BDD1B1; (Ⅱ)若D1D=BD,求四棱锥D-A1BCD1的体积.
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四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PC=a,则它的五个面中,互相垂直的面是______.
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如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,∠BCD=60°,PA⊥面ABCD,E是AB的中点,F是PC的中点. (Ⅰ)求证:面PDE⊥面PAB; (Ⅱ)求证:BF∥面PDE.
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如图,ABCD是边长为2的正方形,ED⊥平面ABCD,ED=1,EF∥BD且KF=BD. (Ⅰ)求证:BF∥平面ACE; (Ⅱ)求证:平面AFC⊥平面EFC.
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如图所示的四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,E为PC的中点,求证: (1)PA∥平面BDE; (2)平面PAC⊥平面PBD.
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