如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图．在直观图中，M是BD的中点．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如

题型：吉林省期末题难度：来源：

如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图．在直观图中，M是BD的中点．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
（1）求证：EM∥平面ABC；
（2）求出该几何体的体积；
（3）求证：平面BDE⊥平面BCD．

答案

证明：（1）取BC中点N，连接MN，ME，AN，
则MN∥CD，AE∥CD 
又MN=AE= CD，
所以四边形ANME为平行四边形，
则EM∥AN
由EM平面ABC，AN平面ABC，
所以EM∥平面ABC；
（2）由题意可知：四棱锥B﹣ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC
所以，AB⊥平面ACDE，
又AC=AB=AE=2，CD=4，
则四棱锥B﹣ACDE的体积为： = 
（3）∵AC=AB，N是BC的中点，
∴AN⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD
∴AN⊥平面BCD
由（2）知：AN∥EM，
∴EM⊥平面BCD
又EM平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCD．