如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高． （Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD； （Ⅱ）若，∠APB=∠

题型：四川省期末题难度：来源：

如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

答案

解：（1）因为PH是四棱锥P﹣ABCD的高．所以AC⊥PH，
又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．
所以AC⊥平面PBD．
故平面PAC⊥平面PBD
（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB= ．所以HA=HB= ．
因为∠APB=∠ADB=60° 所以PA=PB= ，HD=HC=1．可得PH= ．
等腰梯形ABCD的面积为S= ACxBD=2+ 
所以四棱锥的体积为V= ×（2+ ）× = ．