如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径，(Ⅰ)证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1； (

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如图，圆柱OO₁内有一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径，
(Ⅰ)证明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
(Ⅱ)设AB=AA₁，在圆柱OO₁内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A₁B₁C₁内的概率为p，
(ⅰ)当点C在圆周上运动时，求p的最大值；
(ⅱ)记平面A₁ACC₁与平面B₁OC所成的角为θ(0°＜θ≤90°)，当p取最大值时，求cosθ的值．

答案

解：(Ⅰ)∵A₁A⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴A₁A⊥BC，
∵AB是圆O的直径，
∴BC⊥AC，
又AC∩A₁A=A，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，而BC平面B₁BCC₁，
所以平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁。
(Ⅱ)(ⅰ)设圆柱的底面半径为r，则AB=AA₁=2r，
故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积，
又∵，
∴，
当且仅当时等号成立，
从而，V₁≤2r³；
而圆柱的体积V=πr²·2r=2πr³，
故，
当且仅当AC=BC=r，即OC⊥AB时等号成立，
所以，p的最大值等于。 (ⅱ)由(ⅰ)可知，p取最大值时，OC⊥AB，
于是，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz(如图)，
则C(r，0，0)，B(0，r，0)，B₁(0，r，2r)，
∵BC⊥平面A₁ACC₁，
∴是平面A₁ACC₁的一个法向量，
设平面B₁OC的法向量n=(x，y，z)，
由，得，故，
取z=1，得平面B₁OC的一个法向量为n=(0，-2，1)，
∵，
∴。