设函数f(x)=ex-e-x(Ⅰ)证明:f(x)的导数f"(x)≥2;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.

设函数f(x)=ex-e-x(Ⅰ)证明:f(x)的导数f"(x)≥2;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.

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设函数f(x)=ex-e-x
(Ⅰ)证明:f(x)的导数f"(x)≥2;
(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.
答案
(Ⅰ)f(x)的导数f"(x)=ex+e-x
由于ex+e-x≥2


exe-x
=2
,故f"(x)≥2.
(当且仅当x=0时,等号成立).
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-ax,则g"(x)=f"(x)-a=ex+e-x-a,
(ⅰ)若a≤2,当x>0时,g"(x)=ex+e-x-a>2-a≥0,
故g(x)在(0,+∞)上为增函数,
所以,x≥0时,g(x)≥g(0),即f(x)≥ax.
(ⅱ)若a>2,方程g"(x)=0的正根为x1=ln
a+


a2-4
2

此时,若x∈(0,x1),则g"(x)<0,故g(x)在该区间为减函数.
所以,x∈(0,x1)时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,与题设f(x)≥ax相矛盾.
综上,满足条件的a的取值范围是(-∞,2].
举一反三
已知函数f(x)在x=1处的导数为1,则
lim
x→0
f(1-x)-f(1+x)
3x
=(  )
A.3B.-
2
3
C.
1
3
D.-
3
2
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计算:
(1)求函数y=


x
-sin
x
2
cos
x
2
+e-x
的导数.
(2)
20
|1-x|dx
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设f′(x)为函数f(x)的导函数,且f(x)=sinx+2x•f′(
π
3
)
,则f(
π
12
)
f(
π
3
)
的大小关系是(  )
A.f(
π
12
)=f(
π
3
)
B.f(
π
12
)<f(
π
3
)
C.f(
π
12
)>f(
π
3
)
D.不能确定
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某物体运动时,其路程S与时间t(单位:s)的函数关系是S=2(1-t)2,则它在t=2s时的瞬时速度为______
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