定义F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞),(Ⅰ)令函数f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))的图象为曲线C1,曲线C1与y轴交于点A(0,m
题型:汕头二模难度:来源:
定义F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞), (Ⅰ)令函数f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))的图象为曲线C1,曲线C1与y轴交于点A(0,m),过坐标原点O向曲线C1作切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C1在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S,求S的值; (Ⅱ)令函数g(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1))的图象为曲线C2,若存在实数b使得曲线C2在x0(-4<x0<-1)处有斜率为-8的切线,求实数a的取值范围; (Ⅲ)当x,y∈N*且x<y时,证明F(x,y)>F(y,x). |
答案
(Ⅰ)∵F(x,y)=(1+x)y ∴f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))=2log2(x2-4x+9)=x2-4x+9, 故A(0,9),…(1分) 又过坐标原点O向曲线C1作切线,切点为B(n,t) (n>0),f"(x)=2x-4. ∴, 解得B( 3,6 ),…(2分) ∴S=(x2-4x+9-2x)dx=(-3x2+9x)|03=9. …(4分) (Ⅱ)g(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1))=x3+ax2+bx+1, 设曲线C2在x0(-4<x0<-1)处有斜率为-8的切线, 又由题设log2(x3+ax2+bx+1)>0,g"(x)=3x2+2ax+b, ∴存在实数b使得 | 3x02+2ax0+b=-8 (1) | -4<x0<-1 (2) | x03+ax02+bx0>0 (3) |
| | 有解,…(6分) 由(1)得b=-8-3x02-2ax0,代入(3)得-2x02-ax0-8<0,…(7分) ∴由有解, 得2×(-4)2+a×(-4)+8>0或2×(-1)2+a×(-1)+8>0, ∴a<10或a<10, ∴a<10. …(9分) (Ⅲ)令h(x)= , x≥1,由h′(x)=,…(10分) 又令p(x)=-ln(1+x), x>0, ∴p′(x)=-=<0, ∵p(x)在[0,+∞)连续∴p(x)在[0,+∞)单调递减,…(12分) ∴当x>0时有,p(x)<p(0)=0, ∴当x≥1时有,h"(x)<0, ∴h(x)在[1,+∞)单调递减,…(13分) ∴1≤x<y时,有>, ∴yln(1+x)>xln(1+y), ∴(1+x)y>(1+y)x, ∴当x,y∈N*且x<y时,F(x,y)>F(y,x). …(14分) |
举一反三
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