试题分析:(Ⅰ)因为AC和PB是异面直线,所以可以采用线面垂直得线线垂直的方法证,即先平面。要证平面需证面内的两条相交线PA和AB都和AC垂直。为已知条件证PA和AC垂直依据是线面垂直得线线垂直。(Ⅱ)(法一空间向量法)由题意可以点A为坐标原点,以AC,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系。分别设出AB,AC,AP的三边长,故可得点A,点B点C点P的坐标,因为点D为PA中点,即可得到点D的坐标,根据得到点G的坐标,即可求出坐标和平面PBC的一个法向量的坐标,用向量数量积公式可求得,即,因为平面,所以∥平面.(法二一般方法)由可知,G为三角形重心。设AB中点为E,所以G在OE上,根据中位线可得∥,连结并延长交于,连。因为∥,且E为AB中点,所以G为AF中点,所以∥,内线外线平行所以得线面平行。问题得证。(Ⅲ)采用空间向量法,由(Ⅰ)可知是面PAB的一个法向量。先求两个法向量所成的角。两个法向量所成的角与二面角相等或互补。由观察可知此二面角为锐二面角,所以余弦值为正值。 试题解析:证明:(Ⅰ)因为平面,平面, 所以. 又因为,且, 所以平面. 又因为平面, 所以. 4分 (Ⅱ) 解法1:因为平面,所以,.又因为, 所以建立如图所示的空间直角坐标系.
设,,, 则,,, ,. 又因为, 所以. 于是, ,. 设平面的一个法向量 ,则有 即 不妨设,则有,所以. 因为, 所以.又因为平面, 所以∥平面. 9分 解法2:
取中点,连,则. 由已知可得, 则点在上.连结并延长交于,连. 因为分别为的中点, 所以∥,即为的中点. 又因为为线段的中点, 所以∥. 又平面,平面, 所以∥平面. 9分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知平面的一个法向量. 又因为面,所以面的一个法向量是. 又, 由图可知,二面角为锐角, 所以二面角的余弦值为. 14分 |