如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠ADC=90º,AE⊥平面ABCD,EF//CD,BC=CD=AE=EF==1.(Ⅰ)求证:CE//平面ABF;(Ⅱ

如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠ADC=90º,AE⊥平面ABCD,EF//CD,BC=CD=AE=EF==1.(Ⅰ)求证:CE//平面ABF;(Ⅱ

题型:不详难度:来源:
如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠ADC=90º,AE⊥平面ABCD,EF//CD,BC=CD=AE=EF==1.

(Ⅰ)求证:CE//平面ABF;
(Ⅱ)求证:BE⊥AF;
(Ⅲ)在直线BC上是否存在点M,使二面角E-MD-A的大小为?若存在,求出CM的长;若不存在,请说明理由.
答案
(I)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)在BC上存在点M,且|CM|=
解析

试题分析:(I)将直角梯形ABCD补为长方形(补为长方形,一切都好办了!),如图,作 FG∥EA,AG∥EF,连结EG交AF于H,连结BH,BG,由三角形的中位线可得BH∥CE,从而得CE∥面ABF.

(Ⅱ)空间中证线线垂直,一般先证线面垂直.那么在本题中,证哪条线垂直哪个面?结合(I)题易得BG⊥AF,AF⊥EG,由此得 AF⊥平面BGE,从而 AF⊥BE.(Ⅲ)思路一、由于AG、AE、AD两两垂直,故以A为原点,AG为x轴,AE为y轴,AD为z轴建立空间直角坐标系A-xyz.假设M(1,y0,0),然后看利用二面角E-MD-A的大小为能否求出y0,若能求出y0,则存在;不能求出y0,则不存在.
思路二、作出二面角的平面角也可.
试题解析:(I)证明:如图,作 FG∥EA,AG∥EF,连结EG交AF于H,连结BH,BG,

∵EF∥CD且EF=CD,
∴AG∥CD,
即点G在平面ABCD内.
由AE⊥平面ABCD知AE⊥AG,
∴四边形AEFG为正方形,
CDAG为平行四边形,                      2分
∴H为EG的中点,B为CG中点,
∴BH∥CE,
∴CE∥面ABF.                        4分
(Ⅱ)证明:∵ 在平行四边形CDAG中,∠ADC=90º,
∴BG⊥AG.
又由AE⊥平面ABCD知AE⊥BG,
∴BG⊥面AEFG,
∴BG⊥AF.                          6分
又∵AF⊥EG,
∴AF⊥平面BGE,
∴AF⊥BE.                          8分
(Ⅲ)解:如图,以A为原点,AG为x轴,AE为y轴,AD为z轴建立空间直角坐标系A-xyz.

则A(0,0,0),G(1,0,0),E(0,0,1),D(0,2,0),设M(1,y0,0),

设面EMD的一个法向量
令y=1,得
.                      10分
又∵
为面AMD的法向量,

解得
故在直线BC上存在点M,且|CM|=||=.         12分
法二、作,则,由等面积法得:.
举一反三
如图,正方体中,是棱的中点,是棱的中点,则异面直线所成的角为
A.B.
C.D.

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若一条直线和平面所成的角为,则此直线与该平面内任意一条直线所成角的取值范围是                      .
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在直三棱柱中,,异面直线所成的角等于,设

(1)求的值;
(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小.
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正方体中,异面直线所成角度为            .
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将正方形沿对角线折成一个直二面角,点到达点,则异面直线所成角是(  )
A.B.C.D.

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