在三棱锥中,是边长为2的正三角形,平面平面,,分别为的中点.(1)证明:;(2)求锐二面角的余弦值;

题型：不详难度：来源：

在三棱锥中,是边长为2的正三角形,平面平面,,分别为的中点.

(1)证明:;
(2)求锐二面角的余弦值;

答案

（1）见试题解析；（2）．

解析

试题分析：（1）要证线线垂直，一般可先证线面垂直，而本题中有，是等边三角形，故可以取中点为，则有，，这是等腰三角形的常用辅助线的作法；（2）关键是作出所求二面角的平面角，由已知及（1）中辅助线，可知平面，由于 是 中点，故只要取中点 ，则有 ，也即 平面 ，有了平面的垂线，二面角的平面角就容易找到了。
试题解析：(1)证明:取中点,连结,.
∵ ∴且 
∴平面,又平面,∴ .

(2)设OB与C E交于点G，取OB中点为M，作MH^C E交CE于点H，连结FM，FG.
平面平面且， 
,,,
从而.,是二面角的平面角.
由得,
在中,,
,
故锐二面角的余弦值为 .