如图,直角梯形中,,,,,,过作,垂足为.、分别是、的中点.现将沿折起,使二面角的平面角为.(1)求证:平面平面;(2)求直线与面所成角的正弦值.
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如图,直角梯形中,,,,,,过作,垂足为.、分别是、的中点.现将沿折起,使二面角的平面角为.(1)求证:平面平面;(2)求直线与面所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,直角梯形
中,
,
,
,
,
,过
作
,垂足为
.
、
分别是
、
的中点.现将
沿
折起,使二面角
的平面角为
.
(1)求证:平面
平面
;
(2)求直线
与面
所成角的正弦值.
答案
(1)详见解析;(2)求直线
与面
所成角的正弦值为
.
解析
试题分析:(1)利用折叠前
以及
、
在同一平面内,得到在折叠后
,由已知条件
,结合直线与平面垂直的判定定理可以证明
平面
,最终利用平面与平面垂直的判定定理即可证明平面
平面
;(2)解法一是利用空间向量法,即以点
为坐标原点,
、
分别为
轴、
轴建立空间坐标系,将二面角
为
进行适当转化,再利用空间向量法求出直线
与面
所成角的正弦值;解法二是利用到(1)中的结论
平面
,只需作
交
于点
,于是确定直线
与面
所成角为
,借助点
为
的中点从而得到
为中位线,于是确定点
为
的中点,连接
,在直角三角形
中计算出
.
试题解析:(1)证明:
DE
AE,CE
AE,
,
AE
平面
, 3分
AE
平面
,
平面
平面
. 5分
(2)(方法一)以E为原点,EA、EC分别为
轴,建立空间直角坐标系 6分
DE
AE,CE
AE,
是二面角
的平面角,即
=
, 7分
,
,
,
A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),E(0,0,0),D(0,
,1). 9分
、
分别是
、
的中点,
F
,G
10分
=
,
=
, 11分
由(1)知
是平面
的法向量, 12分
设直线
与面
所成角
,则
,
故求直线
与面
所成角的正弦值为
. 14分(列式1分,计算1分)
(方法二)作
,与
相交于
,连接
6分
由(1)知AE
平面
,所以
平面
,
是直线
与平面
所成角 7分
是
的中点,
是
的中位线,
,
8分
因为DE
AE,CE
AE,所以
是二面角
的平面角,即
=
9分
在
中,由余弦定理得,
(或
) 11分(列式1分,计算1分)
平面
,所以
,在
中,
13分
所以直线
与面
所成角的正弦值为
14分
举一反三
平面
若
与
所成角正弦值为0.8,
与
成45
0
角,则
距离的范围( )
A.
B.
C.
D.
∪
题型:不详
难度:
|
查看答案
正三棱柱
中,
,则
与平面
所成的角的正弦值为
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,正四棱柱
中,
,则异面直线
与
所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在三棱锥
中,
是边长为2的正三角形,平面
平面
,
,
分别为
的中点.
(1)证明:
;
(2)求锐二面角
的余弦值;
题型:不详
难度:
|
查看答案
在正方体
中,直线
和平面
所成角的余弦值大小为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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