如图,直角梯形中,,,,,,过作,垂足为.、分别是、的中点.现将沿折起,使二面角的平面角为.(1)求证:平面平面;(2)求直线与面所成角的正弦值.

如图,直角梯形中,,,,,,过作,垂足为.、分别是、的中点.现将沿折起,使二面角的平面角为.(1)求证:平面平面;(2)求直线与面所成角的正弦值.

题型:不详难度:来源:
如图,直角梯形中,,过,垂足为.分别是的中点.现将沿折起,使二面角的平面角为.

(1)求证:平面平面
(2)求直线与面所成角的正弦值.
答案
(1)详见解析;(2)求直线与面所成角的正弦值为.
解析

试题分析:(1)利用折叠前以及在同一平面内,得到在折叠后,由已知条件,结合直线与平面垂直的判定定理可以证明平面,最终利用平面与平面垂直的判定定理即可证明平面平面;(2)解法一是利用空间向量法,即以点为坐标原点,分别为轴、轴建立空间坐标系,将二面角进行适当转化,再利用空间向量法求出直线与面所成角的正弦值;解法二是利用到(1)中的结论平面,只需作于点,于是确定直线与面所成角为,借助点的中点从而得到为中位线,于是确定点的中点,连接,在直角三角形中计算出.
试题解析:(1)证明:DEAE,CEAE,
 AE平面,   3分
 AE平面平面平面.  5分
(2)(方法一)以E为原点,EA、EC分别为轴,建立空间直角坐标系  6分
DEAE,CEAE,是二面角的平面角,即=,  7分

A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),E(0,0,0),D(0,,1).  9分
分别是的中点,F,G   10分
==,  11分
由(1)知是平面的法向量,    12分
设直线与面所成角,则
故求直线与面所成角的正弦值为.   14分(列式1分,计算1分)
(方法二)作,与相交于,连接  6分
由(1)知AE平面,所以平面是直线与平面所成角  7分
的中点,的中位线,  8分
因为DEAE,CEAE,所以是二面角的平面角,即= 9分
中,由余弦定理得,
(或)  11分(列式1分,计算1分)
平面,所以,在中,   13分
所以直线与面所成角的正弦值为  14分
举一反三
平面所成角正弦值为0.8,成450角,则距离的范围(   )
A.B.
C.D.

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正三棱柱中,,则与平面所成的角的正弦值为     .
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如图,正四棱柱中,,则异面直线所成角的余弦值为(      )
A.B.C.D.

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在三棱锥中,是边长为2的正三角形,平面平面,,分别为的中点.

(1)证明:;
(2)求锐二面角的余弦值;
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在正方体中,直线和平面所成角的余弦值大小为(     )
A.B.C.D.

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