解法一: (I)由AC=1,AB=,BC=知AC2+AB2=BC2, 所以AC⊥AB。 因为ABC—A1B1C1是直三棱柱,面ABB1A1⊥面ABC, 所以AC⊥面ABB1A1。………………3分 由,知侧面ABB1A1是正方形,连结AB1, 所以A1B⊥AB1。 由三垂线定理得A1B⊥B1C。 ………………6分 (II)作BD⊥B1C,垂足为D,连结A1D。 由(I)知,A1B⊥B1C,则B1C⊥面A1BD, 于是B1C⊥A1D, 则∠A1DB为二面角 A1—B1C—B的平面角。 ………………8分
∴Rt△A1B1C≌Rt△B1BC,
故二面角A1—B1C—B的大小为………………12分 解法二: 由AC=1,AB=,BC=知AC2+AB2=BC2, 所以AC⊥AB。 如图建立空间直角坐标系 ……………………2分 (I), ………………6分 (II)作,垂足为D,连结A1D。
设 , 所以等于二面角A1—B1C—B的大小。 ………………10分 , 故二面角A1—B1C—B的大小为………………12分 |