试题分析:(1)设DG的中点为M,连接AM,FM.可得BF//AM;(2)做出二面角平面角,利用三角函数求. 也可以利用空间向量求解. 试题解析:方法一 (1)设DG的中点为M,连接AM,FM. 则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形. ∴MF∥DE,且MF=DE.∵平面ABC∥平面DEFG, ∴AB∥DE.∵AB=DE, ∴MF∥AB,且MF=AB,∴四边形ABFM是平行四边形. ∴BF∥AM. 又BF⊄平面ACGD,AM⊂平面ACGD, 故BF∥平面ACGD. (2)由已知AD⊥平面DEFG,∴DE⊥AD.又DE⊥DG, ∴DE⊥平面ADGC.∵MF∥DE,∴MF⊥平面ADGC. 在平面ADGC中,过M作MN⊥GC,垂足为N,连接NF,则∠MNF为所求二面角的平面角. 连接CM.∵平面ABC∥平面DEFG,∴AC∥DM.又AC=DM=1,所以四边形ACMD为平行四边形,∴CM∥AD,且CM=AD=2. ∵AD⊥平面DEFG,∴CM⊥平面DEFG,∴CM⊥DG.
在Rt△CMG中,∵CM=2,MG=1,∴MN===. 在Rt△FMN中, ∵MF=2,MN=,∴FN==. ∴cos∠MNF===,∴二面角DCGF的余弦值为. 方法二 由题意可得,AD,DE,DG两两垂直,故可建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(0,0,2),B(2,0,2),C(0,1,2),E(2,0,0),G(0,2,0),F(2,1,0). (1)=(2,1,0)-(2,0,2)=(0,1,-2),=(0,2,0)-(0,1,2)=(0,1,-2), ∴=,∴BF∥CG.又BF⊄平面ACGD,故BF∥平面ACGD. (2)=(0,2,0)-(2,1,0)=(-2,1,0).设平面BCGF的法向量为n1=(x,y,z), 则令y=2,则n1=(1,2,1).则平面ADGC的法向量n2=(1,0,0). ∴cos〈n1,n2〉===. 由于所求的二面角为锐二面角,∴二面角DCGF的余弦值为. |