如图所示的几何体中，四边形为矩形,为直角梯形，且 = = 90°，平面平面，,(1)若为的中点，求证:平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的大小．

题型：不详难度：来源：

如图所示的几何体中，四边形为矩形,为直角梯形，且 = = 90°，平面平面，,

(1)若为的中点，求证:平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的大小．

答案

（Ⅰ）连结,交与,连结，
中，分别为两腰的中点 , 确定. 
得到平面. 
（Ⅱ），.

解析

试题分析：（Ⅰ）证明：连结,交与,连结，
中，分别为两腰的中点 ,     ∴.   2分
因为面,又面，所以平面.      4分
（Ⅱ）解：设平面与所成锐二面角的大小为，以为空间坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则
，.
设平面的单位法向量为则可设.            7分

设面的法向量，应有

即：
解得：，所以 .           10分
，.           12分
点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，本题利用空间向量简化了证明过程。