如图,长方体中,,,点在上,且.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.

如图,长方体中,,,点在上,且.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.

题型:不详难度:来源:
如图,长方体中,,点上,且

(Ⅰ)证明:平面
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
答案
(Ⅰ)建立空间直角坐标系,利用空间向量解决(Ⅱ)
解析

试题分析:(Ⅰ)以为坐标原点,分别以所在的直线为轴、轴、轴,建立如下图所示的空间直角坐标系.则
.                       ……2分


,所以平面.                                         ……6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得是平面的一个法向量,
设向量是平面的法向量,则
  
,则.                                          ……10分

所以二面角的余弦值为.                                            ……13分

点评:用空间向量证明立体几何问题的依据还是相应的判定定理,如第一问中必须强调;另外,用法向量求二面角时,求出的可能是要求的角的补角,要仔细判断二面角时锐角还是钝角.
举一反三
(本题满分12分)三棱锥中,

(Ⅰ)求证:平面平面
(Ⅱ)若,且异面直线的夹角为时,求二面角的余弦值.
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、b是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列四个命题中正确的是(    )
A.若⊥b,,则b∥B.若,则
C.若,则 D.若⊥b,,b⊥,则

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(本题满分12分)三棱锥中,

(Ⅰ)求证:平面平面
(Ⅱ)当时,求三棱锥的体积.
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(本小题满分12分)
如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,BCD=60,E是CD的中点,PA底面ABCD,PA=2.

(1)证明:平面PBE平面PAB;
(2)求PC与平面PAB所成角的余弦值。
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(本小题满分12分)在直三棱柱(侧棱垂直底面)中,,且异面直线所成的角等于

(Ⅰ)求棱柱的高;
(Ⅱ)求与平面所成的角的大小.
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