解:法一:(I)如图:在△ABC中,由E、F分别是AC、BC中点,得EF//AB,
又AB平面DEF,EF平面DEF. ∴AB∥平面DEF. (II)∵AD⊥CD,BD⊥CD ∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角 ∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD 取CD的中点M,这时EM∥AD ∴EM⊥平面BCD 过M作MN⊥DF于点N,连结EN,则EN⊥DF ∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角…………6分 在Rt△EMN中,EM=1,MN=∴tan∠MNE=,cos∠MNE= ………8分 (Ⅲ)在线段BC上存在点P,使AP⊥DE……………………10分 证明如下:在线段BC上取点P。使,过P作PQ⊥CD与点Q, ∴PQ⊥平面ACD ∵在等边△ADE中,∠DAQ=30° ∴AQ⊥DE∴AP⊥DE………………………………13分 法二:(Ⅱ)以点D为坐标原点,直线DB、DC为x轴、y轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,2)B(2,0,0)C(0,……4分 平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为 则 即 所以二面角E—DF—C的余弦值为 …8分 (Ⅲ)在平面坐标系xDy中,直线BC的方程为 设 …………………12分 所以在线段BC上存在点P,使AP⊥DE …………………………13分 另解:设 又 …………………………12分
把所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE …………….14分 |