(Ⅰ)作ME∥CD,ME∩PD=E. ∵∠ADC=∠BCD=90°,AD=2BC=2,N是AD的中点,∴BN⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,∴BN⊥平面PAD, ∴BN⊥NE,∠DNE为二面角M-BN-C的平面角,∠DNE=30°.……………3分 ∵PA=PD=AD,∴∠PDN=60°,∴∠DEN=90°,∴DE=DP, ∴CM=CP,故=3.…………………………………………………………6分 (Ⅱ)连结BE,由(Ⅰ)的解答可知PE⊥平面BMN,则∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角.连结PN,则PN⊥平面ABCD,从而PN⊥BN, ∴PB===,…………………………………………9分 又PE=PD=,∴sin∠PBE==. 所以直线PB与平面MBN所成的角为arcsin.………………………………12分
解法二: (Ⅰ)建立如图所示的坐标系N—xyz,其中N(0,0,0),A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,,0),D(-1,0,0),P(0,0,). 设=λ(λ>0),则M(,,),于是 =(0,,0),=(,,),………………………………3分 设n=(x,y,z)为面MBN的法向量,则·n=0,·n=0, ∴y=0,-λx+λy+z=0,取n=(,0,λ), 又m=(0,0,1)为面BNC的法向量,由二面角M-BN-C为30°,得 |cosám,nñ|===cos30°=,解得λ=3, 故=3.……………………………………………………………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ),n=(,0,3)为面MBN的法向量,……………………………8分 设直线PB与平面MBN所成的角为θ,由=(0,,-),得 sinθ=|o(PB,sup5(→________==, 所以直线PB与平面MBN所成的角为arcsin.………………………………12分 |