解法一: (Ⅰ)证明:在△PAD卡中PA=PD,O为AD中点,所以PO⊥AD. 又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD. (Ⅱ)连结BO,在直角梯形ABCD中,BC∥AD,AD=2AB=2BC, 有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形, 所以OB∥DC. 由(Ⅰ)知PO⊥OB,∠PBO为锐角, 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角. 因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中,AB=1,AO=1,所以OB=, 在Rt△POA中,因为AP=,AO=1,所以OP=1, 在Rt△PBO中,PB=, cos∠PBO=, 所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为. (Ⅲ)
由(Ⅱ)得CD=OB=, 在Rt△POC中,PC=, 所以PC=CD=DP,S△PCD=·2=. 又S△= 设点A到平面PCD的距离h, 由VP-ACD=VA-PCD, 得S△ACD·OP=S△PCD·h, 即×1×1=××h, 解得h=. 解法二:
(Ⅰ)同解法一, (Ⅱ)以O为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz. 则A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0), D(0,1,0),P(0,0,1). 所以=(-1,1,0),=(t,-1,-1), ∞〈、〉=, 所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为, (Ⅲ)设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,x0), 由(Ⅱ)知=(-1,0,1),=(-1,1,0), 则 n·=0,所以 -x0+ x0=0, n·=0, -x0+ y0=0, 即x0=y0=x0, 取x0=1,得平面的一个法向量为n=(1,1,1). 又=(1,1,0). 从而点A到平面PCD的距离d= |