已知正四面体ABCD的棱长为a.(1)求证:AC⊥BD(2)求AC与BD的距离.(3)求它的内切球的半径.
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已知正四面体ABCD的棱长为a. (1)求证:AC⊥BD (2)求AC与BD的距离. (3)求它的内切球的半径. |
答案
(1)证明:取AC中点E ∵AD=DC,AB=BC ∴AC⊥DE,AC⊥BE ∴AC⊥平面BDE ∴AC⊥BD (2)取BD中点F,则,EF⊥BD 同理可证EF⊥AC ∴EF为AC与BD的距离 ∵正四面体ABCD的棱长为a ∴DE=a ∴EF=a (3)设内切球心为O,半径为r ∵VA-BCD=VO-ABC+VO-PAB+VO=PBC+VO-PAC ∴r=a
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举一反三
三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=1,PB=PC=,则点P到平面ABC的距离为( ) |
将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,则BD的长度为( ) |
矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直,将△DEF沿FD翻折,翻折后的点E恰与BC上的点P重合.设AB=1,FA=x(x>1),AD=y,则当x=______时,y有最小值.
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长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=6,AA1=4,M是A1C1的中点,P在线段BC上,且CP=2,Q是DD1的中点,求: (1)M到直线PQ的距离; (2)M到平面AB1P的距离. |
如图,已知矩形ABCD中,AB=1,PA⊥平面ABCD,若在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ,则BC的长是( )
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