如图,连接EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O.因为ABCD是正方形,E、F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点. BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾. 由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离. ∵BD⊥AC, ∴EF⊥HC. ∵GC⊥平面ABCD, ∴EF⊥GC, ∴EF⊥平面HCG. ∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线. 作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离. ∵正方形ABCD的边长为4,GC=2, ∴AC=4,HO=,HC=3. ∴在Rt△HCG中,HG=. 由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的,故Rt△HKO∽△HCG. ∴OK===. 即点B到平面EFG的距离为. |