解:(Ⅰ)连接A1D,AD1,在长方体中,AE⊥平面AD1, ∴AD1是D1E在平面AD1内的射影, AD=A1A , ∴四边形A1DD1A为正方形, ∴AD1⊥A1D, 由三垂线定理:D1E⊥A1D。 (Ⅱ)连接DE, ∵E为AB的重点, ∴AD=AE,EB=BC, ∴∠AED=∠BEC=45°, ∴DD1⊥平面ABCD, ∴D1E⊥EC, 故∠D1ED为二面角D1-EC-D的平面角。 在Rt△D1DE中,DD1=1,DE=, ∴tan∠D1ED=, 故二面角D1-EC-D的大小为。 (Ⅲ)过点D作DF⊥D1E于F, 由(II)可得EC⊥面D1DE, 又EC面D1EC, ∴面D1EC⊥面D1DE, ∴DF⊥面D1EC, 故DF为点D到平面D1EC的距离, , ∴D1E=,, 故点D到平面D1EC的距离为。 |