(理)如图,单位正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是棱C1D1和B1C1的中点,试求:(Ⅰ)AF与平面BEB1所成角的余弦值;(Ⅱ)点A到面BEB1的
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(理)如图,单位正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是棱C1D1和B1C1的中点,试求:(Ⅰ)AF与平面BEB1所成角的余弦值;(Ⅱ)点A到面BEB1的
题型:不详
难度:
来源:
(理)如图,单位正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
,E,F分别是棱C
1
D
1
和B
1
C
1
的中点,试求:
(Ⅰ)AF与平面BEB
1
所成角的余弦值;
(Ⅱ)点A到面BEB
1
的距离.
答案
(1)如图所示,建立空间直角坐标系.
则A(1,0,0),B(1,1,0),B
1
(1,1,1),
E(0,
1
2
,1)
,
F(
1
2
,1,1)
.
∴
B
B
1
=(0,0,1)
,
BE
=(-1,-
1
2
,1)
,
AF
=(-
1
2
,1,1)
.
设平面BEB
1
的法向量为
n
=(x,y,z)
,
则
n
•
B
B
1
=0
n
•
BE
=0
,即
z=0
-x-
1
2
y+z=0
,取y=2,则x=-1,z=0.
∴
n
=(-1,2,0)
,
设AF与平面BEB
1
所成的角为θ,
θ∈[0,
π
2
]
.
则
sinθ=|cos<
n
,
AF
>|
=
|
n
•
AF
|
|
n
||
AF
|
=
1
2
+2
5
×
1
4
+2
=
5
3
,
∴
cosθ=
1-si
n
2
θ
=
2
3
.
(2)由(1)可得平面BEB
1
的法向量
n
=(-1,2,0)
,
AB
=(0,1,0)
.
∴点A到面BEB
1
的距离d=
|
n
•
AB
|
|
n
|
=
2
5
=
2
5
5
.
举一反三
线段AB的长等于它在平面α上射影的2倍,则AB所在的直线和平面α所成的角为( )
A.120°
B.60°
C.45°
D.30°
题型:不详
难度:
|
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如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AD
∥
BC,AD⊥AB,AB=
2
.AD=2,BC=4,AA
1
=2,E是DD
1
的中点,F是平面B
1
C
1
E与直线AA
1
的交点.
(1)证明:
(i)EF
∥
A
1
D
1
;
(ii)BA
1
⊥平面B
1
C
1
EF;
(2)求BC
1
与平面B
1
C
1
EF所成的角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=2,点E为BC的中点,若直线AE与底面BCD所成的角为45°,则三棱锥A-BCD的体积等于( )
A.
2
3
B.
4
3
C.2
D.
2
2
3
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图所示,已知在正四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,底面边长AB=2,侧棱BB
1
的长为4,E为C
1
C上的点,且CE=1,
(1)求证:A
1
C⊥平面BDE;
(2)求A
1
B与平面BDE所成的角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知某几何体的直观图和三视图如图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
(1)求证:BN⊥平面C
1
B
1
N;
(2)设θ为直线C
1
N与平面CNB
1
所成的角,求sinθ的值;
(3)设M为AB中点,在BC边上求一点P,使MP
∥
平面CNB
1
,求
BP
PC
的值.
题型:不详
难度:
|
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