如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的

题型：天津高考真题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，
（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；
（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小。

答案

（Ⅰ）解：在四棱锥P-ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，

平面ABCD，
故PA⊥AB，
又AB⊥AD，PA∩AD=A，
从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，
从而∠APB为PB和平面PAD所成的角，
在

中，AB=PA，故∠APB=45°，
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．
（Ⅱ）证明：在四棱锥P-ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，

平面ABCD，
故CD⊥PA，
由条件CD⊥PC，PA∩AC=A，
∴CD⊥面PAC，
又

面PAC，
∴AE⊥CD，
由

，∠ABC=60°，可得AC=PA，
∵E是PC的中点，
∴AE⊥PC，
∴PC∩CD=C，
综上得AE⊥平面PCD．（Ⅲ）解：过点E作EM⊥PD，垂足为M，连结AM，
由（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD，
AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，
因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角，
由已知，可得∠CAD=30°，设AC=a，可得