解:设正方体的棱长为1,如图所示, 以为单位正交基底建立空间直角坐标系, (Ⅰ)依题意,得, 所以, 在正方形ABCD-A1B1C1D1中,因为AD⊥平面ABB1A1, 所以是平面ABB1A1的一个法向量, 设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ, 则, 即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为。 (Ⅱ)依题意,得A1(0,0,1),, 设n=(x,y,z)是平面A1BE的一个法向量, 则由,,得, 所以, 取z=2,得n=(2,1,2); 设F是棱C1D1上的点,则F(t,1,1)(0≤t≤1), 又B1(1,0,1),所以, 而B1F平面A1BE, 于是=0 F为C1D1的中点. 这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点),使B1F∥平面A1BE。 | |