(I)当F为棱A"B的中点时,EF∥平面A′CD.证明如下: 取A"C的中点G,连结DG、EF、GF,则 由中位线定理得DE∥BC、DE=BC,且F∥BC、GF=BC. ∴DE∥GF且DE=GF,可得四边形DEFG是平行四边形, ∴EF∥DG ∵EF⊄平面A"CD,DG⊂平面A"CD,∴EF∥平面A′CD 因此,当F为棱A"B的中点时,EF∥平面A′CD.----(4分) (II)在平面A′CD内作A"H⊥CD于点H, ∵DE⊥A"D,DE⊥CD,且A"D∩CD=D ∴DE⊥平面A"CD,可得A"H⊥DE, 又∵DE∩CD=D,∴A"H⊥底面BCDE,即A"H就是四棱锥A"-BCDE的高. 由A"H≤AD,得点H和D重合时,四棱锥A"-BCDE体积取最大值.--(8分) 分别以DC、DE、DA"所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图, 则A"(0,0,a),B(a,2a,0),E(0,a,0), ∴=(a,2a,-a),=(0,a,-a), 设平面A"BE的一个法向量为=(x,y,z), 由得 取y=1,得x=-1,z=1.得到=(-,1,1), 同理,可求得平面A"CD的一个法向量=(0,1,0) ∴cos<,>=== 故平面A"CD与平面A"BE夹角的余弦值为 综上所述,四棱锥A"-BCDE体积取最大值时,平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值等于----(12分) |